Revista Recursos Hídricos
Volume 32, Número 2, Novembro 2011

DOI: 10.5894/rh32n2-6
O texto deste artigo foi submetido para revisão e possível publicação em Novembro de 2011, tendo sido aceite pela Comissão de Editores Científicos Associados em Novembro de 2011. Este artigo é parte integrante da Revista Recursos Hídricos, Vol. 32, Nº 2, 63-76, Novembro de 2011.

Sobre a estimação de intervalos de confiança para os quantis de variáveis aleatórias hidrológicas

On constructing confidence intervals for the quantiles of hydrological random variables

Artur Tiago Silva¹, Mauro Naghettini², Maria Manuela Portela³

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1 - Mestre em Engenharia Civil /// Instituto Superior Técnico /// artur.tiago.silva@ist.utl.pt
2 - Professor Associado /// Universidade Federal de Minas Gerais /// mauronag@superig.com.br
3 - Professora Auxiliar /// Instituto Superior Técnico /// mps@civil.ist.utl.pt

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RESUMO: O trabalho que se apresenta analisa alguns aspectos teóricos e práticos sobre a construção de intervalos de confiança de quantis de variáveis aleatórias hidrológicas. Tais intervalos assumem um papel preponderante no dimensionamento e operação de sistemas de recursos hídricos envolvendo variáveis aleatórias, uma vez que sintetizam as incertezas associadas à estimação de parâmetros e de quantis a partir de amostras finitas. A construção de intervalos de confiança de quantis pode ser feita por três abordagens: (i) pela aproximação gaussiana dos quantis em torno da estimativa da variável para uma dada probabilidade de não-excedência – um método de implementação muito complexa quando as distribuições têm três ou mais parâmetros; (ii) pela técnica de simulação de Monte Carlo, que envolve a geração de um elevado de número de amostras sintéticas de dimensão igual à da amostra original; (iii) pela técnica de re-amostragem bootstrap, que envolve a obtenção de um elevado número de amostras por re-amostragem com reposição dos dados originais e com dimensão igual à da amostra original. As três abordagens foram aplicadas à construção de intervalos de confiança a 95% de quantis das distribuições generalizada de extremos (GEV, com três parâmetros) e de Gumbel (com dois parâmetros), com parâmetros estimados pelo método dos momentos convencionais, utilizando, para o efeito, dados de precipitações diárias máximas anuais em três postos udométricos de Portugal Continental. Os resultados dessa aplicação demonstram que, independentemente da abordagem utilizada, para valores elevados da probabilidade de não-excedência, os intervalos de confiança dos quantis da lei GEV são notoriamente mais amplos dos que os da lei de Gumbel, em virtude do acréscimo de incerteza introduzido pelo terceiro parâmetro daquela primeira lei, e que os intervalos de confiança construídos pela técnica de bootstrap têm menor amplitude relativamente aos construídos, tanto por aproximação gaussiana, como pela técnica de Monte Carlo, sendo que essa amplitude reduzida é muito mais notória no caso da lei GEV do que no da de Gumbel. Adicionalmente concebeu-se e implementou-se um procedimento com o objectivo de avaliar quantitativamente o desempenho relativo das técnicas de Monte Carlo e do bootstrap. Dos resultados da anterior análise resulta a recomendação da aplicação da técnica de Monte Carlo para a construção de intervalos de confiança de quantis da leis GEV e de Gumbel em detrimento da técnica de bootstrap, embora no caso da GEV se tenha verificado uma aparente subestimação sistemática da incerteza resultante da estimação de parâmetros a partir de amostras finitas.

Palavras-chave: análise de frequência, variáveis hidrológicas, intervalos de confiança, Monte Carlo, bootstrap.

ABSTRACT: The research presented in this paper analyses some theoretical and practical aspects of constructing confidence intervals for the quantiles of hydrological random variables. Such intervals assume an important role in the design and operation of water resources systems, as they summarize the uncertainties associated with estimating distribution parameters and quantiles from finite data samples of hydrologic random variables. The construction of confidence intervals for quantiles can be done following three approaches: (i) the Gaussian approximation of quantiles around the estimate of the variable for a given non-exceedance probability - a method of cumbersome implementation when using distributions described by three or more parameters; (ii) the Monte Carlo simulation technique, which involves generating a large number of synthetic samples with a length equal to that of the original sample; (iii) the bootstrap resampling technique, which involves obtaining a large number of samples by sampling with replacement from the original data. The three approaches were applied to the construction of confidence intervals for the quantiles of the generalized extreme value (three-parameter GEV) and the (two-parameter) Gumbel distributions, with parameters estimated by the method of conventional moments, using annual maximum daily precipitation data from three rainfall gauging stations in mainland Portugal. The results of that application show that for high values of the non-exceedance probability, the confidence intervals for the quantiles of the GEV distribution are wider than the ones for the Gumbel distribution, due to the increment in uncertainty introduced by the third parameter of the GEV, and the confidence intervals resulting from the bootstrap technique are narrower as compared to the ones constructed either through the Gaussian approximation or the Monte Carlo technique. This relatively reduced amplitude was more evident for the GEV rather than for the Gumbel distribution. Additionaly, a procedure was devised and implemented to make a quantitative assessment of the relative performances of the Monte Carlo and the bootstrap techniques. The results of the previous analysis lead to the recommendation of the Monte Carlo technique for constructing confidence intervals for the quantiles of the GEV and Gumbel distributions rather than the bootstrap, although in the case of the GEV there was an apparent systematic underestimation of uncertainty due to parameter estimation from finite samples.

Keywords: frequency analysis, hydrological variables, confidence intervals, Monte Carlo, bootstrap.

 

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